今天要说的是之前写东西的过程中遇到一个没怎么注意的地方，觉得有点意思。

这个问题是关于开球的闭包和开球对应的闭球之间的关系。

具体来说，假设 是一个度量空间（metric space）。

我们用如下记号表示球心在 半径是 的开球：

同时，用如下记号表示对应的闭球：

对于开球 来说，我们可以定义它的闭包（closure） ，也就是包含它的最小的闭集。

那么问题来了，一个开球的闭包与它对应的闭球是否相等呢？

答案是 No！

考虑这样一个度量空间： 是任意一个集合。定义如下一个度量：

在这样一个度量空间中，，进而它的闭包也是 。

但是，。其实问题就出在球的边界上有孤点（isolated point）。

当然，对于赋泛线性空间（normed vector space）来说，这个问题的答案是 Yes。

另外，stackexchange 上用人给出了两者相等的一个等价刻画：两者相等当且仅当对于任意的两个不同点 和 ，对于任意一个正数 ，可以找到一个点 ，使得 到 的距离小于 并且 到 的距离小于 到 的距离。