开球的闭包与闭球

今天要说的是之前写东西的过程中遇到一个没怎么注意的地方,觉得有点意思。

这个问题是关于开球的闭包和开球对应的闭球之间的关系。

具体来说,假设 (X, d) 是一个度量空间(metric space)

我们用如下记号表示球心在 x_0 半径是 r 的开球:
B(x_0, r) = \{ x \in X \mid d(x, x_0) < r \}

同时,用如下记号表示对应的闭球:
D(x_0, r) = \{ x \in X \mid d(x, x_0) \le r \}

对于开球 B(x_0, r) 来说,我们可以定义它的闭包(closure) \overline{B(x_0, r)} ,也就是包含它的最小的闭集。

那么问题来了,一个开球的闭包与它对应的闭球是否相等呢?

答案是 No!

考虑这样一个度量空间:X 是任意一个集合。定义如下一个度量:
d(x,y) = \begin{cases} 0, & \text{if and only if } x = y \\ 1, & \text{otherwise} \end{cases}

在这样一个度量空间中,B(x_0, 1) = \{ x_0 \},进而它的闭包也是 \{ x_0 \}

但是,D(x_0, 1) = X。其实问题就出在球的边界上有孤点(isolated point)

当然,对于赋泛线性空间(normed vector space)来说,这个问题的答案是 Yes。

另外,stackexchange 上用人给出了两者相等的一个等价刻画:两者相等当且仅当对于任意的两个不同点 xy,对于任意一个正数 \epsilon,可以找到一个点 z,使得 zy 的距离小于 \epsilon 并且 xz 的距离小于 xy 的距离。

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