Archive for the 「学」海无涯 Category

Blackwell 定理

个体在做决策时,虽然其效用(payoff)与现实世界的真实状态(state)有关,但往往无法观察到真实的状态。为了估计真实的状态,个体会考虑进行试验(experiment)以获取一些能够反应真实状态的信号(signal)。试验的好坏可以用其提供的信息量(或者更高的期望效用)来衡量。Blackwell 定理为试验之间的比较提供了建议一个简单的刻画。

Blackwell 定理由 David Blackwell 在 1951 年建立。值得一提的是,David Blackwell 是 UC Berkeley 第一个终身轨的黑人教授。

David Blackwell 1999

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开球的闭包与闭球

今天要说的是之前写东西的过程中遇到一个没怎么注意的地方,觉得有点意思。

这个问题是关于开球的闭包和开球对应的闭球之间的关系。

具体来说,假设  (X, d) 是一个度量空间(metric space)

我们用如下记号表示球心在  x_0 半径是  r 的开球:

 B(x_0, r) = \{ x \in X \mid d(x, x_0) < r \}

同时,用如下记号表示对应的闭球:

 D(x_0, r) = \{ x \in X \mid d(x, x_0) \le r \}

对于开球  B(x_0, r) 来说,我们可以定义它的闭包(closure)  \overline{B(x_0, r)} ,也就是包含它的最小的闭集。

那么问题来了,一个开球的闭包与它对应的闭球是否相等呢?

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连续个随机变量的大数律

近来 blog 有收敛到「瞎逛博物馆」的趋势。为了扭转这一势头,并且提升点品味,准备陆续放一些关于学术的内容。第一篇,也就是今天介绍的,是关于连续个随机变量的大数律。这个结果应该是我老师这辈子最得意的结果。

对于一个随机事件,基于较少的样本量,一般来说人们不容易做出富有意义的预测。但是,大数据量的独立样本却可以给出随机事件均值的一个近似估计,并且其精确程度随着数据量的增大而提高;这就是被人们所熟知的大数律。这个想法可以追述到大约 500 年前意大利数学家 Gerolamo Cardano(吉罗拉莫•卡尔达诺)。Cardano 写到,随着试验次数的增多,经验统计的精度程度有着提高的趋势;但他并未给出证明。

大数律的第一个严格证明来自于瑞士数学家 Jacob Bernoulli(雅各布•伯努利);在其著作 The Art of Conjecturing 中,他证明了关于二元随机变量(binary random variables)的大数律。

Daniel Bernoulli
Daniel Bernoulli

经典大数律的完整证明则归功于著名的前苏联概率学家 Andrey Kolmogorov(安德雷•柯尔莫哥洛夫);他在 1933 年出版的书籍 Foundations of the Theory of Probability 中证明了关于可数个独立随机变量的大数律。

Kolmogorov
Andrey Kolmogorov

开始正文之前,先放参考文献:

Yeneng Sun, The exact law of large numbers via Fubini extension and characterization of insurable risks
Journal of Economic Theory 126 (2006), 31--69
下载地址:http://dx.doi.org/10.1016/j.jet.2004.10.005

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My boss

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(2011 年 06 月 29 日,Faro@Portugal)

仅以此文记录我的老师,兼以表达我的谢意。

我不擅长表达自己的情绪,所以很难见到我会用文字记录某某某对我的好处。这篇 post 的出现只能暗示一点——我实在是太感动了。我早就在谋划这篇 post,甚至想把它放进 thesis 的 acknowledgement 里面(我现在还在犹豫、摇摆)。

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上海交大校长张杰的报告

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(2013 年 03 月 20 日;新加坡)

对公共报告甚无兴趣,在国大四年多的时间里从来没有参加过。前日无意中得知 SJTU 的校长要来给报告,想来也无事,不如去凑个热闹;同时还告知了侯哥和吴将军,可惜吴将军没有三根侯毛,分身乏术。

因为侯哥基本定了去 SJTU 做 postdoc,对未来的 boss 张杰已有些许了解。听侯哥的介绍,这哥们似乎有这么几个的特点:学术厉害(五院院士),办事务实(SJTU 最近几年发展迅速,尤其是学校的全面建设),亲民(愿意关注最底层的学生和青年老师)。对此,报告前我将信将疑:中国的大学校长,想做得比较成功(上级满意,同僚买账,学生称赞,校史留名)实在太难了。

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樱花


(猫咪太可爱;借用一下;版权@武汉大学学生会)

早在今年 02 月 01 日,我接受 WHU 的 offer 的时候,我就在考虑这篇 post 了。这篇 post 讲述的是我与 WHU 之间到现在为止的故事;之所以选择“樱花”为题,是因为不想用 WHU 作为标题,另也因为樱花长时间以来一直是 WHU 广为人知的一点。为了避免不必要的麻烦,这篇 post 的正文只有有缘人才能看到;自我感觉良好的同学可以 E-mail 向我索取浏览密码。(于 2017 年 2 月 24 日开放浏览)

作为土生土长的武汉人,但从未在 WHU 里作过一天学生,我对于 WHU 有种说不出的奇怪感情。一直记得第一次听到 USTC 的时间——高一入校报到的时候,但对于 WHU,我完全不记得最初什么时候听到这个名字了。

也许对 WHU 最初的记忆来自于她校园里的樱花。小学 X 年级的春天,正值樱花绽放的时节,我第一次进入 WHU 的校园。樱花开放的时候,WHU 一直对非学校人员有出入限制;母亲认识学校某侧门口某餐馆的服务员,从餐馆的前门进、后门出,避开了工作人员的检查。当时完全不懂得欣赏樱花——其实现在还是不懂。记忆最深的有两件,其一是樱园老斋舍的其中一个阶梯上的“所谓的”血迹(据称是国统时期六一惨案中惨死在国民党枪下的进步学生的血迹,其实是一些红色油漆罢了),另一处则是位于樱花大道一端的生物标本馆。对于血迹,早就把它视为笑话;对于标本馆,最让我记忆犹新的是,当时一个讲解员指着一具银环蛇的标本对我说,“这是我和我老师在 WHU 后山抓到的”。这是第一次与 WHU 的接触。

与 WHU 的下一次接触似乎是在高中时候。还记得,高考前曾经对 ex 说,“我们一起去 WHU 读生物吧”。但是高考之后,我几乎没有任何的犹豫,决定选择离开武汉,选择合肥的 USTC。现在回想起来,当年实在是过于争强好胜,不愿意“屈就” WHU。现在回忆起来,不知道当年的选择是否合适:不得不说,我走到现在,能遇到我现在的导师,十分幸运,这份好运沾了 USTC 不少的光;另一方面,不得不承认合肥不没有让我的眼界开阔起来;更深的一层,选择留着武汉、加入 WHU 的话,应该走上了一条完全不同的路,也许早已一家三口。正是这次选择,我失去了成为 WHU 校友一员的机会。

找工作算是跟 WHU 最亲密的一次接触。其实我很犹豫要不要回武汉,情感的挫折,让整个城市在我眼中一片毫无光彩,我甚至赌气对朋友说过,“打死也不回武汉”。学习经济学会让人习惯理性地思考问题,我最终还是给 WHU 和 HUST 递交了申请;老师曾跟我开玩笑,“这么想回武汉是不是因为对 ex 抱有希望啊”,我认可这一点。等待面试通知的过程让我焦虑不已,在这里,真心感谢焦倩姐,感谢邹老师。我总共拿到了 10 个 offer,坦白来说,WHU 的待遇并不好,最终,我还是选择了她。(在收到这份 offer 的时候,我就已经做出决定了,“最终”一次似乎过了;对此,某朋友一语中的,“面对选择有时看似纠结其实心里早有偏向。Once a choice is made, that is to say, it was a good one. Follow your heart!”。是的,follow my heart!)一者,谢老师和邹老师让我觉得在 WHU 我个人能有进一步的发展,同时也能实现我长久以来内心一直埋藏的“教书育人”的理想;二者,我对 ex 似乎还抱有“幻想”——其实,在我的规划中,毕业之后回武汉工作、然后成家等等都是在既定之中的,可惜“物质”层面的东西实现了(甚至比当年想象中的容易许多),人却相逢应不识。